Colocamos sobre la mesa 25 monedas iguales, formando un cuadrado de 5x5 monedas. Una mosca viene volando y se posa sobre una de ellas. Se le ocurre hacer un paseo por las 25 monedas, pasando  de una moneda a otra, horizontal o verticalmente, y sin repetir moneda. ¿Lo podrá hacer?

Como 25 monedas son "muchas", probemos con 4. Es obvio que, sea cual sea la moneda donde se pose, un paseo en las condiciones descritas siempre será factible.

Probemos ahora con 9 monedas. Si la mosca se posa en una esquina o en el centro, lo tiene fácil, pero si se posa en cualquier otra moneda, dicho paseo resulta imposible.

Así, en el caso de 9 monedas, a veces se puede hacer el paseo, y otras no. Podemos sospechar que en el caso de 25 monedas suceda algo parecido. 

¿Por qué no se puede hacer el paseo en algunos casos, cuando hay 9 monedas? Señalemos los centros de las monedas con coordenadas: 

Es curioso: ¡los puntos desde los que el paseo no se puede hacer son (0,1), (1,0), (0,-1), (-1,0)! En ellos, la suma de las coordenadas es impar. En los restantes, la suma de las coordenadas es par. Llamaremos pares a estos vértices y, a los otros, impares.

Hay cuatro vértices impares y cinco pares. El paseo de la mosca, empezando por un vértice impar, sería: 

Impar ⇒ Par ⇒ Impar ⇒ Par ⇒ ... 

Si terminase en impar, habría más vértices impares que pares. Si terminase en par, habría igual número de las dos clases. Ambas cosas son falsas. Por tanto, ¡la mosca no puede hacer el  paseo saliendo de un vértice impar! 

Esto da luz más que suficiente para tratar el caso de 25 monedas. Será fácil ahora encontrar los caminos posibles.

<Fuente: http://platea.pntic.mec.es/jescuder/BLOG-1/Resolucion%20de%20problemas%20matematicos.pdf >