<http://www.dmatematicas.eu/2018/02/problema-035.html>

Sean dos circunferencias de centros E y F, que admiten tangentes exteriores en los puntos de tangencia A, B, C y D, como se muestra en el dibujo. Sean G y H las intersecciones de los segmentos que unen los centros de cada circunferencia con los puntos de tangencia de la otra circunferencia. Entonces, la suma de las áreas de los triángulos ABG y CDH es igual al área del cuadrilátero EGFH.

<http://joselorlop.blogspot.com.es/2018/02/1516-por-la-tangente-resolucion.html>

Hace unos años, en Blogdemaths, se presentaba un juego de cartas que escondía una bella propiedad matemática. Vamos a explicar el juego.

Dispones de diez ‘cartas mágicas’ como las que muestra la siguiente imagen y que puedes descargar en este enlace:

Ahora puedes ‘lucirte’ delante de un amigo o amiga, siguiendo estos pasos:

1. pide a tu colega que elija un número entre 1 y 100,

2. muéstrale cada una de las diez cartas anteriores y pregúntale en cuáles de ellas figura el número elegido,

3. y ‘por arte de magia’… ¡aciertas el número!

¿Cómo se ‘adivina’ el número? Imaginemos que tu colega ha elegido el número 32. Entre las diez cartas, estas tres son las que contienen el número 32:

Ahora basta con sumar los primeros números, los situados arriba, a la izquierda. En este caso: 3+8+21, que suman ¡32!

Aunque hay que tener un poco de gracia para que el truco luzca –es decir, hay que aparentar que se tienen dotes mágicas–, en realidad todo depende de un teorema matemático, el que da nombre a esta entrada. Y, por supuesto, las cartas están preparadas para que esto suceda. La distribución de los números en estas cartas se basa en el teorema de Zeckendorf –que debe su nombre al matemático Édouard Zeckendorf (1901-1983)– y que afirma lo siguiente:

Todo entero positivo se escribe, de manera única, como suma de números de Fibonacci no consecutivos. A esa escritura única se le llama la ‘descomposición de Zeckendorf’ del número en cuestión.

Recordar que los números de Fibonacci son los que aparecen en la sucesión de Fibonacci, que comienza con el 0 y el 1, y cada término se obtiene al sumar los dos anteriores (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,…).

¿Cómo se elaboran entonces las diez cartas? Los primeros números de cada una de ellas corresponden a los diez primeros números de la sucesión de Fibonacci –tras haber eliminado los dos primeros términos, el 0 y el 1–:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 y 89.

Como dice el teorema de Zeckendorf, cualquier número menor que 100 puede escribirse como una suma de estos números –deben ser sólo estos diez, ya que el siguiente número en la sucesión de Fibonacci es el 144–, y de manera única.

Así, cada número entero entre 1 y 100 sólo aparece en una única combinación de cartas, precisamente las que definen la descomposición de Zeckendorf. Por ejemplo, el número 32 es el único número que aparece en las cartas que comienzan por 3, 8 y 21 (ya que 3+8+21=32).

¿Y el resto de los números? Tras haber anotado el primer número de cada carta –1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 y 89–, para cualquier número menor que 100, encontramos su descomposición de Zeckendorf –es decir, su expresión como suma de números de Fibonacci no consecutivos, que es única, como ya se ha comentado–, y entonces lo incorporamos en las cartas correspondientes a esos números de Fibonacci.

¿Te apetece probar el truco?

<Artículo original: https://culturacientifica.com/2017/12/06/la-magia-del-teorema-zeckendorf>