Hablando de los números primos una de las cosas que llama la atención es su caótica forma de aparecer. Al principio están muy próximos entre sí; por ejemplo, entre los primeros 20 números naturales contamos hasta 8 números primos, pero luego, entre el 83 y el 97 no encontramos ninguno.
La pregunta que nos hacemos es: ¿podremos encontrar intervalos con 5, 10, 20, o incluso 1000, números compuestos consecutivos, es decir, intervalos de cualquier tamaño sin números primos?
La respuesta es que sí, y la demostración es bastante sencilla. Por ejemplo, para conseguir un intervalo de 5 números consecutivos sin primos, basta con calcular 6!+k, con k=2, 3, 4, 5, 6:
6·5·4·3·2·1+2 = 2.(6.5.4.3.1+1) = 722, que es múltiplo de 2
6·5·4·3·2·1+3 = 3.(6.5.4.2.1+1) = 723, que es múltiplo de 3
6·5·4·3·2·1+4 = 4.(6.5.3.2.1+1) = 724, que es múltiplo de 4
6·5·4·3·2·1+5 = 5.(6.4.3.2.1+1) = 725, que es múltiplo de 5
6·5·4·3·2·1+6 = 6.(5.4.3.2.1+1) = 726, que es múltiplo de 6
En general, para conseguir un intervalo de n números compuestos consecutivos, sin presencia de números primos, basta con calcular (n+1)!+k, con k=2, 3, ..., n.
Sin embargo, no hay un intervalo infinito de números compuestos consecutivos, sin primos, es decir, el número de primos no es finito. Si hubiera un número finito de primos, el producto de todos ellos aumentado en 1 no sería divisible por ninguno de los números primos existentes y, en consecuencia, sería otro número primo. Dado que este razonamiento se puede continuar indefinidamente, la conclusión es que ¡el número de primos es infinito!
<Fuente: http://matematicosoriano.blogspot.com.es/2017/11/los-enormes-espacios-entre-numeros.html#more>
