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Teorema de la bisectriz

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Teorema de la bisectriz

Enunciado

En un triángulo dado, la razón entre dos lados cualesquiera coincide con la razón entre las partes que la bisectriz del ángulo formado por dichos lados determina sobre el tercer lado. Es decir,

 

{\displaystyle {\frac {BA}{AC}}={\frac {BD}{DC}}}

 

Demostración

 

Aplicando el teorema del seno al triángulo ADC,  tenemos:

 

 {\displaystyle {m \over \sin x}={b \over \sin y}}

 

Aplicando el teorema del seno al triángulo DBC, y teniendo en cuenta que {\displaystyle \scriptstyle \sin(\pi -y)=\sin(y)}, tenemos:

 

 {\displaystyle {n \over \sin x}={a \over \sin y}}

 

Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones, resulta:

 

{\displaystyle {m \over n}={b \over a}}